Układy równań liniowych z dwoma niewiadomymi to układy, w których mamy do czynienia z dwoma równaniami zawierającymi dwie niewiadome (x i y). Rozwiązanie takiego układu polega na znalezieniu wartości x i y, które spełniają oba równania jednocześnie. Oto kilka metod rozwiązania takich układów:

1. Metoda eliminacji: a) Mnożenie równań (jeśli to konieczne), aby uzyskać identyczne lub przeciwne współczynniki dla jednej z niewiadomych. b) Dodanie lub odjęcie równań, aby wyeliminować jedną z niewiadomych. c) Rozwiązanie powstałego równania z jedną niewiadomą. d) Podstawienie znalezionej wartości do jednego z równań, aby obliczyć drugą niewiadomą.

2. Metoda podstawiania: a) Wyrażenie jednej z niewiadomych z jednego równania względem drugiej. b) Podstawienie wyrażenia do drugiego równania, tworząc równanie z jedną niewiadomą. c) Rozwiązanie powstałego równania. d) Podstawienie znalezionej wartości do wyrażenia z kroku a), aby obliczyć drugą niewiadomą.

3. Metoda macierzowa: a) Przedstawienie układu równań jako macierzy współczynników i macierzy wyników. b) Obliczenie odwrotnej macierzy współczynników. c) Mnożenie odwrotnej macierzy współczynników przez macierz wyników, aby uzyskać macierz rozwiązań (x i y).

Przykład (metoda eliminacji):

Układ równań:

• x + y = 5
• 2x - y = 3

• Krok 1: Dodajemy oba równania (eliminujemy y): 3x = 8
• Krok 2: Dzielimy przez 3: x = 8/3
• Krok 3: Podstawiamy x do pierwszego równania: 8/3 + y = 5
• Krok 4: Rozwiązujemy dla y: y = 5 - 8/3 = 7/3

Rozwiązaniem tego układu równań jest x = 8/3 i y = 7/3.

Przykład zastosowania metody podstawiania do rozwiązania układu równań liniowych z dwoma niewiadomymi:

Układ równań:

• x + y = 4
• 2x - y = 0

1. Wyrażenie jednej z niewiadomych z jednego równania względem drugiej: a) Z pierwszego równania wyrażamy y względem x: y = 4 - x
2. Podstawienie wyrażenia do drugiego równania, tworząc równanie z jedną niewiadomą: a) Podstawiamy wyrażenie dla y do drugiego równania: 2x - (4 - x) = 0
3. Rozwiązanie powstałego równania: a) Uprość równanie: 2x - 4 + x = 0 b) Dodaj wyrazy z x: 3x - 4 = 0 c) Dodaj 4 do obu stron równania: 3x = 4 d) Podziel przez 3: x = 4/3
4. Podstawienie znalezionej wartości do wyrażenia z kroku 1, aby obliczyć drugą niewiadomą: a) y = 4 - 4/3 b) y = (12 - 4) / 3 c) y = 8/3

Rozwiązaniem tego układu równań jest x = 4/3 i y = 8/3.

Przykład zastosowania metody macierzowej do rozwiązania układu równań liniowych z dwoma niewiadomymi:

Układ równań:

• 3x + 2y = 11

• x - y = 1

1. Przedstawienie układu równań jako macierzy współczynników i macierzy wyników:

   1. Macierz współczynników A: | 3 2 | | 1 -1 |

   2. Macierz wyników B: | 11 | | 1 |

2. Obliczenie odwrotnej macierzy współczynników A^(-1):

   1. Wyznacznik macierzy A: det(A) = (3 * -1) - (2 * 1) = -3 - 2 = -5

   2. Zamiana miejscami elementów na przekątnej: | -1 2 | | 1 3 |

   3. Zmiana znaków dla elementów poza przekątną: | -1 -2 | | -1 3 |

   4. Mnożenie macierzy przez (1/det(A)): A^(-1) = 1/(-5) * | -1 -2 | | -1 3 | A^(-1) = | 1/5 2/5 | | 1/5 -3/5 |

3. Mnożenie odwrotnej macierzy współczynników A^(-1) przez macierz wyników B, aby uzyskać macierz rozwiązań X (x i y):

   1. X = A^(-1) * B = | 1/5 2/5 | * | 11 | | 1/5 -3/5 | | 1 |

   2. Wykonaj mnożenie macierzy: | (1/5 * 11) + (2/5 * 1) | | (1/5 * 11) - (3/5 * 1) |

   3. Oblicz wartości: | 13/5 | | 8/5 |

Rozwiązaniem tego układu równań jest x = 13/5 i y = 8/5.

A teraz w bardziej przejrzysty sposób:

Układ równań: 3x + 2y = 11 x - y = 1

1. Narysuj "tabliczkę" z liczbami z równań:

| 3 2 | 11

| 1 -1 | 1

2. Teraz chcemy obliczyć "odwrotną tabliczkę". Musimy zrobić kilka kroków:

   1. a) Oblicz wartość wyznacznika (pomocne liczby): (3 * -1) - (2 * 1) = -3 - 2 = -5

   2. b) Zamień miejscami liczby 3 i -1: | -1 2 | 11 | 1 -1 | 1

   3. c) Zmień znaki dla liczb 2 i 1: | -1 -2 | 11 | -1 3 | 1

   4. d) Pomnóż każdą liczbę przez (1/-5): | 1/5 2/5 | 11 | 1/5 -3/5 | 1

3. Teraz chcemy pomnożyć naszą "odwrotną tabliczkę" przez "tabliczkę" z wynikami (11 i 1):

   1. a) Pomnóż wiersze przez kolumny:

      1. | (1/5 * 11) + (2/5 * 1) | = 13/5

      2. | (1/5 * 11) - (3/5 * 1) | = 8/5

Rozwiązaniem tego układu równań jest x = 13/5 i y = 8/5.

Pamiętaj, że metoda macierzowa może być trudna do zrozumienia na początek, dlatego warto najpierw opanować metody eliminacji i podstawiania. Metoda macierzowa staje się szczególnie przydatna przy rozwiązywaniu większych układów równań.

I jeszcze jeden przykład:

Układ równań: 2x + 3y = 10 4x - y = 6

1. Narysuj "tabliczkę" z liczbami z równań:

| 2 3 | 10

| 4 -1 | 6

2. Teraz chcemy obliczyć "odwrotną tabliczkę". Musimy zrobić kilka kroków:

   1. a) Oblicz wartość wyznacznika (pomocne liczby): (2 * -1) - (3 * 4) = -2 - 12 = -14

   2. b) Zamień miejscami liczby 2 i -1:

      1. | -1 3 | 10

      2. | 4 2 | 6

   3. c) Zmień znaki dla liczb 3 i 4:

      1. | -1 -3 | 10

      2. | -4 2 | 6

   4. d) Pomnóż każdą liczbę przez (1/-14):

      1. | 1/14 3/14 | 10

      2. | 2/7 -1/7 | 6

3. Teraz chcemy pomnożyć naszą "odwrotną tabliczkę" przez "tabliczkę" z wynikami (10 i 6):

   1. a) Pomnóż wiersze przez kolumny:

      1. | (1/14 * 10) + (3/14 * 6) | = 28/14

      2. | (2/7 * 10) - (1/7 * 6) | = 14/7

Rozwiązaniem tego układu równań jest x = 28/14 (lub x = 2) i y = 14/7 (lub y = 2).